Question

如图，在正方体OABC-O₁A₁B₁C₁中，P，Q分别是棱AB，B₁C₁上的动点，且AP=B₁Q，M、N、R分别为AB₁，PQ，BC₁的中点．
（Ⅰ）当

AP

=2

PB

时，求异面直线PM，A₁C₁所成的角；
（Ⅱ）求证：点N恒在线段MR上．

Answer 1

分析：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，设OA=1，进而用坐标表示向量．可得

PM

=(0，-

1

6

，

1

2

)

A1C1

=(-1，1，0)，利用向量的数量积可得夹角公式，故可求异面直线PM，A₁C₁所成角的余弦值．
（Ⅱ）要证点N恒在线段MR上，即证三点，M，N，R共线，即证

MN

=λ

MR

解答：解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，设OA=1
则 O（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0）
C（0，1，0），A₁（1，0，1），O₁（0，0，1）B1(1，1，1，)，C1(0，1，1)；M(1，

1

2

，

1

2

)
R（

1

2

，1，

1

2

)．
当 

AP

=2

PB

时，P(1，

2

3

，0)，
则

PM

=(0，-

1

6

，

1

2

)，

A1C1

=(-1，1，0)
所以 

PM • A1C1

| PM |•| A1C1 |

=

- 1 6

10 6 × 2

=-

5

10

．
故异面直线PM，A₁C₁所成角的余弦值为

5

10

．
（Ⅱ）证明：设

AP

=λ

AB

(0≤λ≤1)，则

B1Q

=λ

B1C1

P（1，λ，0），Q（1-λ，1，1），则N(

2-λ

2

，

1+λ

2

，

1

2

)．
所以 

MN

=(-

λ

2

，

λ

2

，0)=λ(-

1

2

，

1

2

，0)=λ

MR

而0≤λ≤1，故 点N恒在线段MR上．

点评：本题以正方体为载体，考查空间向量，考查线线角，关键是坐标系的建立，用坐标表示向量．