Question

已知数列{a_n}的首项为a₁=5，前n项和为S_n，且S_n+1=2S_n+n+5（n∈N^*）．
（1）证明数列{a_n+1}是等比数列；
（2）令f（x）=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，f′（x）是函数f（x）的导函数，令b_n=f′（1）．求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用递推式，再写一式，两式相减，利用等比数列的定义，即可得到结论；
（2）先确定数列{a_n}的通项，再求导，赋值，再用错位相减法，即可求得数列{b_n}的通项公式．
解答：（1）证明：∵S_n+1=2S_n+n+5，
∴n≥2时，S_n=2S_n-1+n+4，
两式相减可得a_n+1+1=2（a_n+1）
当n=1时，a₂=2a₁+1=11，∴a₂+1=12，
∵a₁=5，∴a₁+1=6，
∴数列{a_n+1}是以6为首项，2为公比的等比数列；
（2）由（1）知a_n+1=6×2^n-1，∴a_n=3×2ⁿ-1，
∵f（x）=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，
∴f′（x）=a₁+2a₂x+…+na_nx^n-1，
∴f′（1）=a₁+2a₂+…+na_n=（3×2-1）+2（3×2²-1）+…+n（3×2ⁿ-1）
=3（2+2×2²+…+n×2ⁿ）-（1+2+3+…+n）
令S=2+2×2²+…+n×2ⁿ，则2S=2²+2×2³+…+n×2ⁿ⁺¹
两式相减可得S=（n-1）×2ⁿ⁺¹+2
∴b_n=f′（1）=．
点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项与求和，确定数列的通项，正确运用求和方法是关键．