题目内容
已知数列{an}的首项a1=
，an+1=
，n∈N+
（Ⅰ）设bn=
-1证明：数列{bn}是等比数列；
（Ⅱ）数列{
}的前n项和Sn．
| 2 |
| 3 |
| 2an |
| an+1 |
（Ⅰ）设bn=
| 1 |
| an |
（Ⅱ）数列{
| n |
| bn |
分析：（Ⅰ）由数列{an}的首项a1=
，an+1=
，推导出an=
．所以bn=
-1=
．由此能够证明数列{bn}是等比数列．
（Ⅱ）由bn=
，知
=n•2n，故数列{
}的前n项和Sn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n，由此利用错位相减法能求出数列{
}的前n项和Sn．
| 2 |
| 3 |
| 2an |
| an+1 |
| 2n |
| 2n+1 |
| 1 |
| an |
| 1 |
| 2n |
（Ⅱ）由bn=
| 1 |
| 2n |
| n |
| bn |
| n |
| bn |
| n |
| bn |
解答：解：（Ⅰ）∵数列{an}的首项a1=
，an+1=
，
∴a2=
=
，
a3=
=
，
a4=
=
．
由此猜想an=
．
用数学归纳法证明：
①当n-1时，a1=
=
，成立；
②假设n=k时，等式成立，即ak=
，
则ak+1=
=
=
，成立．
∴an=
．
∴bn=
-1=
-1=
．
∵b1=
-1=
-1=
，
=
=
，
∴数列{bn}是首项为
，公比为
的等比数列．
（Ⅱ）∵bn=
，
∴
=n•2n，
∴数列{
}的前n项和
Sn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n，①
∴2Sn=1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1，②
①-②，得-Sn=2+22+23+24+…+2n-n×2n+1
=
-n×2n+1
=-（2-2n+1+n×2n+1），
∴Sn=2-2n+1+n×2n+1=（n-1）•2n+1+2．
| 2 |
| 3 |
| 2an |
| an+1 |
∴a2=
2×
| ||
|
| 4 |
| 5 |
a3=
2×
| ||
|
| 8 |
| 9 |
a4=
2×
| ||
|
| 16 |
| 17 |
由此猜想an=
| 2n |
| 2n+1 |
用数学归纳法证明：
①当n-1时，a1=
| 21 |
| 21+1 |
| 2 |
| 3 |
②假设n=k时，等式成立，即ak=
| 2k |
| 2k+1 |
则ak+1=
| 2ak |
| ak+1 |
| ||
|
| 2k+1 |
| 2k+1+1 |
∴an=
| 2n |
| 2n+1 |
∴bn=
| 1 |
| an |
| 2n+1 |
| 2n |
| 1 |
| 2n |
∵b1=
| 1 |
| a1 |
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| bn+1 |
| bn |
| ||
|
| 1 |
| 2 |
∴数列{bn}是首项为
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
（Ⅱ）∵bn=
| 1 |
| 2n |
∴
| n |
| bn |
∴数列{
| n |
| bn |
Sn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n，①
∴2Sn=1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1，②
①-②，得-Sn=2+22+23+24+…+2n-n×2n+1
=
| 2×(1-2n) |
| 1-2 |
=-（2-2n+1+n×2n+1），
∴Sn=2-2n+1+n×2n+1=（n-1）•2n+1+2．
点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意数学归纳法、错位相减法和递推思想的合理运用．
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