Question

设数列{a_n}是等差数列，a₅=6，a₃=2时，若自然数k₁，k₂，…，k_n…（n∈N^*）满足5＜k₁＜k₂＜…＜k_n＜…，使得a₃，a₅，ak1ak2，…akn，…成等比数列，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{k_n}的通项公式及其前n项的和．

Answer 1

分析：（1）根据等差数列{a_n}的第3项和第5项求出公差d=2，再求出a₁=-2，结合等差数列的通项公式即可求出a_n的表达式；
（2）由等比数列的通项公式，算出题中等比数列的公比q=3，从而得到第n项akn=2•3n+1，根据akn同时是{a_n}的第k_n项建立相等关系，即可得到kn=3n+1+2，最后结合等比数列的求和公式即可得到数列{k_n}的其前n项的和．

解答：解：（1）∵等差数列{a_n}中，a₅=6，a₃=2
∴{a_n}的公差d=

a5-a3

5-3

=

6-2

5-3

=2，可得a₁=a₃-2d=-2
因此，{a_n}的通项公式为a_n=a₁+（n-3）×2=2n-4
（2）∵2，6，ak1，ak2，…akn，…成等比数列，
∴该数列的公比q=

6

2

=3，可得akn=2•3n+1，
又∵akn 是等差数列{a_n}中的第k_n项，∴ak n=2kn-4，
因此，2•3ⁿ⁺¹=2k_n-4，解之得kn=3n+1+2，
∴k₁+k₂+…k_n=（3²+2）+（3³+2）+（3⁴+2）+…+（3ⁿ⁺¹+2）
=（3²+3³+…3ⁿ⁺¹）+2n=

9

2

(3n-1)+2n．
即数列{k_n}的通项公式为：kn=3n+1+2，其前n项的和为

9

2

(3n-1)+2n．

点评：本题给出等差数列的第3项、第5项是等比数列的前2项，求等比数列与等差数列的公共项按原来的顺序构成数列的通项公式．着重着重考查了等差、等比数列的通项公式和等比数列前n项和公式等知识，属于中档题．