Question

如图，四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=

3

．
（I）求证BC⊥SC；
（II）求面ASD与面BSC所成二面角的大小；
（III）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小．

Answer 1

分析：（I）写出两条直线所在的向量，利用它们的数量级等于可得两条直线垂直．
（II）分别求出两个平面的法向量，利用空间向量的一个知识求出两个向量的夹角，进一步转化为两个平面的夹角．
（III）分别求出两条直线所在的向量，求出两个向量的夹角，由线线角与向量的夹角关系求出异面直线DM与SB所成角的大小．

解答：解：如图所示，以D为坐标原点建立直角坐标系，
则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），M（

1

2

，0，

1

2

），
∵SB=

3

，DB=

2

，SD=1，
∴S（0，0，1）．
（I）证明：∵

SC

=(0，1，-1)，

BC

=(-1，0，0)
∴

BC

•

SC

=0
∴

BC

⊥

SC

，即BC⊥SC．
（II）设二面角的平面角为θ，由题意可知平面ASD的一个法向量为

DC

=(0，1，0)，设平面BSC的法向量为

n

=(x，y，1)，
由

SC • n =0 BC • n =0

得到

y-1=0 -x=0

解得x=0，y=1．所以

n

=(0，1，1)，
所以cosθ=

| DC • n |

| DC || n |

=

2

2

，
∴面ASD与面BSC所成的二面角为45°．
（III）设异面直线DM与SB所成角为α，
∵

DM

=(

1

2

，0，

1

2

)，SB=（-1，-1，1），
∴cosα=

| DM • SB |

| DM || SB |

=0
∴异面直线DM与SB所成角为90°．

点评：解决此类问题的关键是结合几何体的结构特征建立空间直角坐标系，对于运算能力有较强的要求．