Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）设，证明：曲线没有经过坐标原点的切线.

Answer 1

【答案】（1）在单调递减，在单调递增；（2）证明见解析

【解析】

（1）先求得导函数,根据导函数的符号即可判断单调区间.

（2）先讨论过原点的切线斜率是否存在.当斜率不存在时,切线为y轴,分析可知不成立.当斜率存在时,可设出切线方程和切点坐标.建立方程组,判断方程组无解,即可证明不存在这样的切线.

（1）定义域为,

.

当时,,

当时,.

所以在单调递减,在单调递增.

（2）因为定义域为,所以轴不是曲线的切线.

当经过坐标原点的直线不是轴时,设是曲线的切线,切点是.

因为,所以.

消去得,即.

由（1）知在处取得最小值,则,

所以无解.

因此曲线没有经过坐标原点的切线.