Question

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=AD=a，BC=2a，PD⊥底面ABCD．
（1）在PD上是否存在一点F，使得PB∥平面ACF，若存在，求出

PF

FD

的值；若不存在，试说明理由；
（2）在（1）的条件下，若PA与CD所成的角为60°，求二面角A-CF-D的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由题意建立空间直角坐标系，假设存在点F使PB∥平面ACF，先写出坐标含有变量，在利用平面法向量的定义建立方程解出即可；
（2）坐标写出后因为PA与CD所成的角为60°，利用夹角建立坐标设出的变量的方程，然后利用两平面的法向量的夹角求出所求的二面角的大小．

解答：解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系：
D（0，0，0），A（0，a，0），B（a，a，0），C（a，-a，0），
设PD=b，则P（0，0，b），假设存在点F使PB∥平面ACF，F（0，0，λb）（0＜λ＜1）
设平面ACF的一个法向量为

n

=(x，y，z)，

AC

=(a，-2a，0)，

FA

=(0，a，-λb)，

PB

=(a，a，-b)

n • AC =0 n • FA =0

，

n

=(2，1，

a

λb

)，
所以

n

•

PB

=0，2a+a-

a

λ

=0，λ=

1

3

，所以

PF

DF

=2，
（2）

PA

=(0，a，-b)，

DC

=(a，-a，0)，
因为PA与CD所成的角为60°
所以cos60°=|cos＜

PA

•

DC

＞|=

| PA • DC |

|PA |•| DC |

=

a2

a2+b2 • 2 a

=

1

2

，
则a=b，
由（1）知平面ACF的一个法向量为

n

=(2，1，3)
因为∠BAD=90°，AB=AD=a，BC=2a，所以CD=

2

a，BD=

2

a，
所以BC²=CD²+BD²，所以BD⊥BC，
又PD⊥底面ABCD，则BD⊥平面CDF，
所以

DB

=(a，a，0)是平面CDF的一个法向量，
所以cos＜

n

•

DB

＞=

n • DB

|n |•| DB |

=

3a

14 • 2 a

=

3 7

14

，
所以二面角的余弦值为

3 7

14

．

点评：此题重点考查了利用条件恰当的建立了空间直角坐标系，先设出坐标用未知的变量表示，在利用平面法向量的知识建立方程进行求解，还利用向量求出二面角的大小．