已知△ABC的三个内角A.B.C所对的边分别为a.b.c.向量$\overrightarrow{m}$=(4.1).$\overrightarrow{n}$=(sin2$\frac{A}{2}$.cos2A).且$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$\frac{1}{2}$．(1)求角A的大小,sinA+sinC.试判断△ABC� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

12．已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量$\overrightarrow{m}$=（4，1），$\overrightarrow{n}$=（sin²$\frac{A}{2}$，cos2A），且$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$\frac{1}{2}$．
（1）求角A的大小；
（2）若2bsinB=（2a-c）sinA+（2c-a）sinC，试判断△ABC的形状．

分析（1）利用已知计算$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$，然后令它等于$\frac{1}{2}$，可求A的值．
（2）由正弦定理化简已知等式可得a²+c²-b²=ac，利用余弦定理可求cosB，结合范围可求B，C，即可得解．

解答解：（1）由$\overrightarrow{m}$=（4，1），$\overrightarrow{n}$=（sin²$\frac{A}{2}$，cos2A），
$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=4sin²$\frac{A}{2}$+cos2A（1分）
=2-2cosA+cos2A
=2cos²A-2cosA+1（3分）
又因为$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$\frac{1}{2}$．所以$\frac{1}{2}$=2cos²A-2cosA+1，
解得cosA=$\frac{1}{2}$（5分）
∵0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{3}$（6分）
（2）∵2bsinB=（2a-c）sinA+（2c-a）sinC，
∴由正弦定理可得：2b²=（2a-c）a+（2c-a）c，整理可得：a²+c²-b²=ac，
∴由余弦定理可得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，结合范围：0＜B＜π，解得B=$\frac{π}{3}$，
∴解得：C=A=B=$\frac{π}{3}$，△ABC为等边三角形．

点评本题主要考查了平面向量数量积的运算，考查了正弦定理，余弦定理的综合应用，属于中档题．

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