题目内容
已知
、
满足|
|=2，|
|=1，且
、
的夹角为60°，设向量2t
+7
与向量
+t
的夹角为θ（t∈R）．
（1）若θ=90°，求实数t的值；
（2）若θ∈（90°，180°），求实数t的取值范围．
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
（1）若θ=90°，求实数t的值；
（2）若θ∈（90°，180°），求实数t的取值范围．
分析：（1）利用两个向量的数量积的定义可得
•
=1，当θ=90°时，根据（2t
+7
）•（
+t
）=0求出t的值．
（2）若θ∈（90°，180°），则有 cosθ＜0，且 cosθ≠-1，即 2t2+15t+7＜0，且
，由此求得实数t的取值范围．
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
（2）若θ∈（90°，180°），则有 cosθ＜0，且 cosθ≠-1，即 2t2+15t+7＜0，且
|
解答：解：（1）由题意可得
•
=2×1×cos60°=1，当θ=90°时，（2t
+7
）⊥（
+t
），
∴（2t
+7
）•（
+t
）=2t
2+（2t2+7）
•
+7t
2=8t+（2t2+7）+7t=2t2+15t+7=0，
解得 t=-
，或t=-7．
（2）若θ∈（90°，180°），则有 cosθ＜0，且 cosθ≠-1．
∵|2t
+7
|=
=
，
|
+t
|=
=
，
而cosθ=
=
＜0，
且2t
+7
≠-k•（
+t
）
∴2t2+15t+7＜0，且
．
解得 -7＜t＜-
且t=±
，
故实数t的取值范围为{t|-7＜t＜-
，且 t≠-
}．
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
∴（2t
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e1 |
| e2 |
| e2 |
解得 t=-
| 1 |
| 2 |
（2）若θ∈（90°，180°），则有 cosθ＜0，且 cosθ≠-1．
∵|2t
| e1 |
| e2 |
(2t
|
| 16t2+28t+49 |
|
| e1 |
| e2 |
(
|
| 4+2t+t2 |
而cosθ=
(2t
| ||||||||
|2t
|
| 2t2+15t+7 | ||||
|
且2t
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
∴2t2+15t+7＜0，且
|
解得 -7＜t＜-
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
故实数t的取值范围为{t|-7＜t＜-
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，两个向量的夹角公式的应用，注意排除两个向量的夹角等于180°的情况，这是解题的易错点，属于中档题．
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