Question

已知函数f（x）=x-（1+a）lnx在x=1时，存在极值．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若x＞1时，mlnx＞

f(x)-1

x-1

成立，求正实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数，利用函数f（x）=x-（1+a）lnx在x=1时存在极值，可求实数a的值；
（Ⅱ）当x＞1时，mlnx＞

f(x)-1

x-1

成立，则（mx-m+1）lnx-x+1＞0，构造函数g（x）=（mx-m+1）lnx-x+1，求出导函数g′（x）=mlnx+m+

1-m

x

-1，令h（x）=mlnx+m+

1-m

x

-1，求出导函数h′（x）=

m

x

-

1-m

x2

，换元t=

1

x

，分类讨论，即可确定结论．

解答：解：（Ⅰ）求导函数可得f′（x）=1-

1+a

x

，
∵函数f（x）=x-（1+a）lnx在x=1时存在极值
∴f′（1）=0，∴a=0；
（Ⅱ）当x＞1时，mlnx＞

f(x)-1

x-1

成立，则（mx-m+1）lnx-x+1＞0
令g（x）=（mx-m+1）lnx-x+1，则g′（x）=mlnx+m+

1-m

x

-1
令h（x）=mlnx+m+

1-m

x

-1，则h′（x）=

m

x

-

1-m

x2

令t=

1

x

，则h′（x）=（m-1）t²+mt，0＜t＜1
令φ（t）=（m-1）t²+mt，0＜t＜1，则
①当m≥1时，φ（t）＞0即h′（x）＞0，∴g′（x）＞g′（1）=0
∴g（x）＞g（1）=0
∴mlnx＞

f(x)-1

x-1

成立
②当

1

2

≤m＜1时，

m

1-m

≥1，φ（t）＞0，同①知mlnx＞

f(x)-1

x-1

成立；
③当0＜m＜

1

2

时，0＜

m

1-m

＜1，有t∈(

m

1-m

，1)，使φ（t）＜0，即x∈(1，

m

1-m

)时，h′（x）＜0
∴g′（x）＜g′（1）=0
∴g（x）＜g（1）=0与（mx-m+1）lnx-x+1＞0矛盾
∴当0＜m＜

1

2

时，不能使mlnx＞

f(x)-1

x-1

成立；
∴正实数m的取值范围是{m|m≥

1

2

}．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，正确求导是关键．