Question

如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB＝120°，且OA＝OB＝OC＝1.
(1)设P为AC的中点．证明：在AB上存在一点Q，使PQ⊥OA，并计算的值；
(2)求二面角O－AC－B的平面角的余弦值．

Answer 1

解：解法一：(1)在平面OAB内作ON⊥OA交AB于N，连结NC.

又OA⊥OC，∴OA⊥平面ONC.
∵NC?平面ONC，∴OA⊥NC.
取Q为AN的中点，则PQ∥NC，
∴PQ⊥OA.
在等腰△AOB中，∠AOB＝120°，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°.
在Rt△AON中，∠OAN＝30°，
∴ON＝AN＝AQ.
在△ONB中，∠NOB＝120°－90°＝30°＝∠NBO，∴NB＝ON＝AQ，∴＝3.

(2)连结PN，PO.
由OC⊥OA，OC⊥OB知OC⊥平面OAB.
又ON?平面OAB，∴OC⊥ON.
又由ON⊥OA知ON⊥平面AOC.
∴OP是NP在平面AOC内的射影．
在等腰Rt△COA中，P为AC的中点，
∴AC⊥OP.
根据三垂线定理，知AC⊥NP.
∴∠OPN为二面角O－AC－B的平面角．在等腰Rt△COA中，OC＝OA＝1，
∴OP＝.
在Rt△AON中，ON＝OAtan 30°＝，
∴在Rt△PON中，PN＝，
∴cos ∠OPN＝＝.

解析