Question

如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1．
①设P为AC的中点．证明：在AB上存在一点Q，使PQ⊥OA，并计算

AB

AQ

的值．
②求四面体PAOB的体积．

Answer 1

分析：①如图所示，取OA的中点M，过点M作MQ⊥AB，垂足为Q，连接PQ，则PM∥OC，于是可得PQ⊥OA．利用三角形的中位线定理和线面垂直的判定与性质定理即可证明；
②分别计算PM=

1

2

OC，S△AMQ=

1

2

AM•AQ•sin30°，利用V_P-AMQ=

1

3

×PM×S△AMQ即可得出．

解答：解：①如图所示，取OA的中点M，过点M作MQ⊥AB，垂足为Q，连接PQ，则PM∥OC，于是可得PQ⊥OA．
证明如下：∵OC⊥OA，OC⊥OB，OA∩OB=O，∴OC⊥平面OAB．
又PM∥OC，∴AM⊥平面OAB，∴PM⊥OA．
∵MQ⊥OA，MP∩MQ=M，∴OA⊥平面MPQ，∴OA⊥PQ．
下面计算

AB

AQ

的值在△OAB中，∠AOB=120°，OA=OB=1，∴∠A=30°．AM=

1

2

．
由余弦定理可得AB²=2OA²-2OA²•cos120°=3，∴AB=

3

．
在Rt△AMQ中，AQ=

AM

cos30°

=

3

3

．
∴

AQ

AB

=

1

3

．
②∵PM=

1

2

OC=

1

2

.S△AMQ=

1

2

AM•AQ•sin30°=

3

24

．
∴V_P-AMQ=

1

3

×PM×S△AMQ=

1

3

×

1

2

×

3

24

=

3

144

．

点评：本题考查了线面垂直的判定与性质定理、三角形的中位线定理、直角三角形的边角关系、余弦定理、三棱锥的体积计算公式等基础知识与基本技能方法，属于难题．