Question

设复数z₁=2sinθ+cosθ（＜θ＜）在复平面上对应向量，将按顺时针方向旋转后得到向量，对应的复数为z₂=r（cosφ+isinφ），则tanφ=    ．

Answer 1

【答案】分析：先把复数z₁ 化为三角形式，再根据题中的条件求出复数z₂，将求出的复数 z₂和已知的复数 z₂作对照，可得cos∅=cos（ π+β ），sin∅=sin（ π+β），可求tan∅，再把tanβ= 代入化简．
解答：解：∵复数z₁=2sinθ+icosθ （ 0＜θ＜） 的模为  =，
∴复数z₁= （  +i ）= （cosβ+i sinβ）
其中，cosβ=，sinβ=，β为锐角，∴tanβ=，
∴z₂ =•（cos（β-）+i sin（β-））
=•（cos（2π+β-）+i sin（2π+β-））=•（cos（ π+β ）+isin（ π+β）），

又已知复数 z₂=r（cos∅+isin∅），∴cos∅=cos（ π+β ），sin∅=sin（ π+β），
∴tan∅===tan（ +β）=tan（ +β）=== 
=，
故答案为：．
点评：本题考查复数的三角形式，同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，以及利用棣莫弗定理进行复数三角形式的运算．