题目内容

数列{an}是公比为的等比数列，且1-a2是a1与1+a3的等比中项，前n项和为Sn；数列{bn}是等差数列，b1=8，其前n项和Tn满足Tn=n·bn+1(为常数，且≠1)．

(I)求数列{an}的通项公式及的值；

(Ⅱ)比较+++ +与Sn的大小．

 

【答案】

，；

【解析】

试题分析：由1-a2是a1与1+a3的等比中项以及公比为可以得出首项，从而求得数列{an}的通项公式.通过代特殊值法可以解得；可求得，所以 通过裂项相消以及等比数列求和公式，再用放缩法可以得.

试题解析：（Ⅰ）由题意，即

解得，∴                                     2分

又，即                          4分

解得  或（舍）∴                         6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知                                    7分

∴           ①                         9分

又，                 11分

∴   ② 12分

由①②可知                               13分

考点：1.等比数列的性质；2.裂项相消法.3.等比数列的求和公式.

 

练习册系列答案
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（2012•盐城三模）已知数列{an}的首项为1，p(x)=a1
C
0
n
(1-x)n+a2
C
1
n
x(1-x)n-1+a3
C
2
n
x2(1-x)n-2+…+an
C
n-1
n
xn-1(1-x)+an+1
C
n
n
xn．
（1）若数列{an}是公比为2的等比数列，求p（-1）的值；
（2）若数列{an}是公差为2的等差数列，求证：p（x）是关于x的一次多项式．
设数列{an}的首项a1=1，前n项和Sn满足关系式：3tSn-（2t+3）Sn-1=3t（t＞0，n=2，3，4，…）
（1）求证：数列{an}是等比数列；
（2）设数列{an}是公比为f（t），作数列{bn}，使b1=1，bn=f(
1
bn-1
)（n=2，3，4，…），求和：b1b2-b2b3+b3b4-…+b2n-1b2n-b2nb2n+1；
（3）若t=-3，设cn=log3a2+log3a3+log3a4+…+log3an+1，Tn=
1
c1
+
1
c2
+…+
1
cn
，求使k
n•2n+1
(n+1)
≥（7-2n）Tn（n∈N+）恒成立的实数k的范围．
已知数列{an}满足an=22n-1，则（　　）
（2001•上海）设数列{an}是公比为q＞0的等比数列，Sn是它的前n项和，若
limn→+∞
Sn=7，则此数列的首项a1的取值范围为
（0，7）
（0，7）
．
（2013•黄冈模拟）数列{an}是公比为
1
2
的等比数列，且1-a2是a1与1+a3的等比中项，前n项和为Sn；数列{bn}是等差数列，b1=8，其前n项和Tn满足Tn=nλ•bn+1（λ为常数，且λ≠1）．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式及λ的值；
（Ⅱ）比较
1
T1
+
1
T2
+
1
T3
+…+
1
Tn
与
1
2
Sn的大小．

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