Question

（2012•盐城三模）已知数列{a_n}的首项为1，p(x)=a1

C

0 n

(1-x)n+a2

C

1 n

x(1-x)n-1+a3

C

2 n

x2(1-x)n-2+…+an

C

n-1 n

xn-1(1-x)+an+1

C

n n

xn．
（1）若数列{a_n}是公比为2的等比数列，求p（-1）的值；
（2）若数列{a_n}是公差为2的等差数列，求证：p（x）是关于x的一次多项式．

Answer 1

分析：（1）直接利用二项式定理化简表达式，然后求出p（-1）的值．
（2）利用已知关系式，分项通过二项式定理以及组合数公式，化简p（x）的表达式，即可推出结果．

解答：解：p(x)=a1

C

0 n

(1-x)n+a2

C

1 n

x(1-x)n-1+a3

C

2 n

x2(1-x)n-2+…+an

C

n-1 n

xn-1(1-x)+an+1

C

n n

xn
=[（1-x）+2x]ⁿ=（1+x）ⁿ，
当x=-1时p（-1）=0．
（2）若数列{a_n}是公差为2的等差数列，a_n=2n-1，
p(x)=

C

0 n

(1-x)n+(1+2)

C

1 n

x(1-x)n-1+(1+4)

C

2 n

x2(1-x)n-2+…+(1+2n)

C

n n

xn
=

C

0 n

(1-x)n+(1+2)

C

1 n

x(1-x)n-1+(1+4)

C

2 n

x2(1-x)n-2+…+(1+2n)

C

n n

xn
=

[C

0 n

(1-x)n+

C

1 n

x(1-x)n-1+

C

2 n

x2(1-x)n-2+…+

C

n n

xn]+2[

C

1 n

x(1-x)n-1+

2C

2 n

x2(1-x)n-2+…+

nC

n n

xn]
由二项式定理可知，

C

0 n

(1-x)n+

C

1 n

x(1-x)n-1+

C

2 n

x2(1-x)n-2+…+

C

n n

xn=[（1-x）+x]ⁿ=1，
∵

kC

k n

=

nC

k-1 n-1

∴

C

1 n

x(1-x)n-1+

2C

2 n

x2(1-x)n-2+…+

nC

n n

xn
=x[n

C

0 n-1

x(1-x)n-2+

nC

1 n-1

x2(1-x)n-3+…+

nC

n-1 n-1

xn-1]
=nx[（1-x）+x]^n-1=nx．
所以p（x）=1+2nx．
即p（x）是关于x的一次多项式．

点评：本题考查二项式定理的应用，数列求和的应用，考查计算能力．