Question

【题目】如图，平面四边形中，,,,，将三角形沿翻折到三角形的位置，平面平面，为中点.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)

【解析】

（Ⅰ）由题意为等边三角形，可以证明及，由平面平面，可知平面，从而，进而可以得到平面，即可证明；(Ⅱ)以为坐标原点，分别为轴，轴建立空间直角坐标系，分别求出和平面的法向量，由可以得到答案。

（Ⅰ）由题意为等边三角形，则，

在三角形中，,，由余弦定理可求得，

，即

又平面平面，平面平面，平面

平面

等边三角形中，为中点，则，且

平面，

（Ⅱ）以为坐标原点，分别为轴，轴建立空间直角坐标系，

则，，，，

，

设是平面的法向量，则，

取

所以直线与平面所成角的正弦值为.