Question

已知数列{a_n}的前n项和，数列为等比数列，且首项b₁和公比q满足：

(I)求数列的通项公式;

(II)设，记数列的前n项和，若不等式对任意恒成立,求实数的最大值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）当n=1时，a₁=S₁=5．

当n≥2时a_n=S_n-S_n-1=n²+4n-(n-1)²-4(n-1)=2n+3，

验证n=1时也成立．

∴数列{a_n}的通项公式为：a_n=2n+3（n∈N*）．

∵

∴  解得：b₁=2，q=3．

∴数列{b_n}的通项公式为：b_n=2·3^n-1．……………………………………5分

（Ⅱ）∵ ，

∴ T_n= c₁+ c₂+ c₃+…+ c_n

=3+2·3²+3·3³+……+n·3ⁿ················ ①

3T_n=3²+2·3ⁿ+3·3⁴+……+n·3ⁿ⁺¹·············· ②

由①-②得：-2T_n=3+3²+……+3ⁿ-n·3ⁿ⁺¹

=

，

∴ ．………………………………………………………8分

不等式λ(a_n-2n)≤4T_n可化为λ≤(2n-1)·3ⁿ+1，（*）

设f (n)=(2n-1)·3ⁿ+1，

易知函数f (n)在n∈N^*上单调递增，

故当n=1时(2n-1)·3ⁿ+1取得最小值为4，

∴由题意可知：不等式(*)对一切n∈N^*恒成立，只需λ≤4．

∴实数λ的最大值为4．

【解析】略