Question

8．A_n（n∈N）系列的纸张规格如图，其特色在于：
①A₀，A₁，A₂，…，A_n所有规格的纸张的长宽比都相同；
②A₀对裁后可以得到两张A₁，A₁对裁后可以得到两张A₂，…，A_n-1对裁后可以得到两张A_n．
现有每平方厘米重量为b克的A₀，A₁，A₂，…，A_n纸各一张，若A₄纸的宽度为a厘米，则这（n+1）张纸的重量之和S_n+1等于$32\sqrt{2}{a^2}b[{1-{{（\frac{1}{2}）}^{n+1}}}]$．（单位：克）

Answer 1

分析 由题意可得面积是逐渐变为上一个的一半，由相似可得x：y=$\sqrt{2}$：1，由此能求出这（n+1）张纸的重量之和S_n+1．

解答 解：由题意可得面积是逐渐变为上一个的一半，设A_n的长、宽分别为x，y，则A_n+1的长、宽分别为y，$\frac{1}{2}$x，
由相似可得x：y=$\sqrt{2}$：1，
故A₄的面积为$\sqrt{2}$a²，A₁的面积为8$\sqrt{2}$a²，A₀的面积为16$\sqrt{2}{a}^{2}$，
所以S_n+1=$\frac{8\sqrt{2}{a}^{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}•b$+16$\sqrt{2}{a}^{2}b$
=16$\sqrt{2}$a²b（2-$\frac{1}{{2}^{n}}$）
=$32\sqrt{2}{a^2}b[{1-{{（\frac{1}{2}）}^{n+1}}}]$．
故答案为：$32\sqrt{2}{a^2}b[{1-{{（\frac{1}{2}）}^{n+1}}}]$．

点评 本题考查等比数列的求和，归纳推理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．