Question

【题目】已知函数.

（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；

（2）若在上的最小值为3，求实数的值以及相应的的值.

Answer 1

【答案】（1）时，函数为偶函数；时，函数为奇函数；时，函数为非奇非偶函数；理由见解析；（2），

【解析】

（1）分为，，三种情况，探究 与 的关系，即可知奇偶性；

（2）令，则 在最小值为3，结合导数探究当 取何值时，函数取最小值，进而可求出的值以及相应的的值.

解：（1）由题意知，的定义域为， ，

当时，，则 为偶函数；

当时，，则 为奇函数；

当时，且，故此时为非奇非偶函数.

（2）设 ，由题意知， 在最小值为3.则.

当 时，，则 在递增，此时， 最小值 ，

即 ，解得 与矛盾，故舍去；

当时，令，解得或 （舍去）；当，即 时，

在恒成立，由之前的讨论可知，此时与矛盾，舍去；

当，即时，在 上，在上，

所以在上 递减，在上 递增，

则当 时，有最小值，即 ，解得，此时.