题目内容
设数列{an}前n项和为Sn，且（3-m）Sn+2man=m+3（n∈N*）．其中m为实常数，m≠-3且m≠0．（1）求证：{an}是等比数列；
（2）若数列{an}的公比满足q=f（m）且
，求{bn}的通项公式；（3）若m=1时，设Tn=a1+2a2+3a3+…+nan（n∈N*），是否存在最大的正整数k，使得对任意n∈N*均有
成立，若存在求出k的值，若不存在请说明理由．
【答案】分析：（1）由（3-m）Sn+2man=m+3，得（3-m）Sn+1+2man+1=m+3，由此能够证明{an}是等比数列．
（2）由
，知n≥2时，
，所以
是以1为首项，
为公差的等差数列，由此能求出
．
（3）由
，知
，由此能求出k的最大值．
解答：解：（1）由（3-m）Sn+2man=m+3，
得（3-m）Sn+1+2man+1=m+3，
两式相减，得（3+m）an+1=2man（m≠-3），
∴
，
∵m是常数，且m≠-3，m≠0，
故
为不为0的常数，
∴{an}是等比数列．
（2）由
，
且n≥2时，
，
得
，
∴
是以1为首项，
为公差的等差数列，
∴
，
故
．
（3）由已知
，
∴
相减得：
，
∴
，
，
Tn递增，
∴
，
∵
对n∈N*均成立，
∴
，
又k∈N*，∴k最大值为7．
点评：本题考查数列的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，合理地运用错位相减法进行证明．注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．
（2）由
，知n≥2时，
，所以
是以1为首项，
为公差的等差数列，由此能求出
．（3）由
，知
，由此能求出k的最大值．解答：解：（1）由（3-m）Sn+2man=m+3，
得（3-m）Sn+1+2man+1=m+3，
两式相减，得（3+m）an+1=2man（m≠-3），
∴
，∵m是常数，且m≠-3，m≠0，
故
为不为0的常数，∴{an}是等比数列．
（2）由
，且n≥2时，
，得
，∴
是以1为首项，
为公差的等差数列，∴
，故
．（3）由已知
，∴
相减得：
，∴
，
，Tn递增，
∴
，∵
对n∈N*均成立，∴
，又k∈N*，∴k最大值为7．
点评：本题考查数列的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，合理地运用错位相减法进行证明．注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．
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