Question

18．设{a_n}的公比不为1的等比数列，且a₅，a₃，a₄成等差数列．
（1）求数列{a_n}的公比；
（2）若a₁=-2，求数列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．
（2）利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）设数列{a_n}的公比为q（q≠0，q≠1），
由a₅，a₃，a₄成等差数列，得到2a₃=a₅+a₄，即$2{a_3}={a_3}{q^2}+{a_3}q$，
由a₃≠0，q≠0得q²+q-2=0，
解得q=-2或q=1（舍去），
∴q=-2．
（2）依题意易得$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$是以$\frac{1}{a_1}=-\frac{1}{2}$为首项，$-\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
∴${S_n}=\frac{{-\frac{1}{2}[{1-{{（{-\frac{1}{2}}）}^n}}]}}{{1-（{-\frac{1}{2}}）}}=-\frac{{1-{{（{-\frac{1}{2}}）}^n}}}{3}$=$\frac{{{{（{-\frac{1}{2}}）}^n}-1}}{3}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．