Question

在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x²+2x-3与坐标轴的交点都在圆C上．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若圆C被直线x-y+a=0截得的弦长为2

3

，求a的值．

Answer 1

分析：（I）求出曲线y=x²+2x-3与坐标轴的三个交点A、B、D的坐标，从而设出圆心C的坐标，根据|AC|=|BC|利用两点间的距离公式列式，算出圆心为C（-1，-1），进而得出半径r=

5

，可得圆C的方程；
（II）根据垂径定理，算出点C到直线x-y+a=0的距离d=

2

，利用点到直线的距离公式建立关于a的等式，解之即可得到实数a的值．

解答：解：（I）曲线y=x²-2x-3与y轴的交点为A（0，-3），与x轴的交点为B（1，0）、D（-3，0）．
∵线段BD的垂直平分线为x=-1，
∴设圆C的圆心为（-1，b），
由|AC|=|BC|，得（0+1）²+（-3-b）²=（1+1）²+b²，解得b=-1．
由此可得圆心C（-1，-1），
圆C的半径r=

(1-0)2+(-1+3)2

=

5

，
因此，圆C的方程为（x+1）²+（y+1）²=5．
（II）∵直线x-y+a=0被圆C截得的弦长为2

3

，
∴设点C到直线x-y+a=0的距离为d，
根据垂径定理得2

r2-d2

=2

3

，
即

5-d2

=

3

，解得d=

2

（舍负）．
∴点C（-1，-1）到直线x-y+a=0的距离为

|-1+1+a|

2

=

2

，
解得a=±2．

点评：本题给出抛物线与坐标轴的三个交点，求经过此三点的圆的方程，并求被圆截得弦长为2

3

的直线方程，着重考查了圆的标准方程、点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．