Question

某机器人从坐标原点O出发，在直角坐标平面xOy的第一象限，x轴正半轴及y轴正半轴的范围之内运动，该机器人在x轴正半轴上的运动速度是2m/s，在平面其他地方运动速度是1m/s，该机器人从原点O出发，在1s内能到达的点的集合形成的图形记为G，将G的边界位于第一象限的部分记为C．

　　(1)求曲线C的轨迹方程；

　　(2)求图形G的面积．

Answer 1

答案：
解析：

(1)设1s内机器人到达点M(x，y) 　　设机器人先在x轴上运动了am(0≤a≤2)，到达点P(a，0)，则在线段PM上运动了s，所以|MP|=，得 　　(0≤x≤2，y＞0)，将其看成关于a的二次函数 　　①若0≤≤2，即≤x≤2 　　当时， 　　②若0≤x≤，即(2x-1)≤0 　　当a=0时，ymax= 图8-6 　　综上得曲线C的轨迹方程 　　(2)如图8-6所示，图形G的面积 　　SG=S△BOT+S扇形AOT=m2