Question

已知某类型的高射炮在它们控制的区域内击中具有某种速度敌机的概率为

1

5

．
（Ⅰ）假定有5门这种高射炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后被击中的概率；
（Ⅱ）要使敌机一旦进入这个区域内有90%以上的概率被击中，至少需要布置几门这类高射炮？（参考数据lg2=0.301，lg3=0.4771）

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出5门炮都未击中敌机的概率，再根据相互独立事件概率的计算出结论，最后用1减去即可得到结果．
（Ⅱ）直接结合第一问的结论可知1-(

4

5

)n＞

9

10

，再两边取对数，即可求出结论．

解答：解：（Ⅰ）设敌机被各炮击中的事件分别记为A₁、A₂、A₃、A₄、A₅，
那么5门炮都未击中敌机的事件为

.

C

=

.

A1

•

.

A2

•

.

A3

•

.

A4

•

.

A5

，
因各炮射击的结果是相互独立的，
所以P(

.

C

)=P(

.

A1

)•P(

.

A2

)•P(

.

A3

)•P(

.

A4

)•P(

.

A5

)=[P(

.

A

)]5=[1-P(A)]5=(1-

1

5

)5=(

4

5

)5
因此敌机被击中的概率为P(C)=1-P(

.

C

)=1-(

4

5

)5=

2101

3125

．
（Ⅱ）设至少需要置n门高射炮才能有90%以上的概率击中敌机，
由①可知1-(

4

5

)n＞

9

10

，即 (

4

5

)n＜

1

10

，
两边取常用对数，得n＞

1

1-3lg2

≈

1

1-3×0.3010

≈10.3，
∴n≥11．
即至少需要布置11门高射炮才能有90%以上的概率击中敌机．

点评：本题考查n次独立重复实验中恰有k次发生的概率计算，注意解不等式 (

4

5

)n＜

1

10

，用到对数，运算量较大，要细心计算．