Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=p（S_n-a_n）+（p为大于0的常数），且a₁是6a₃与a₂的等差中项．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）若a_n•b_n=2n+1，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（I）当n≥2时，利用a_n=S_n-S_n-1即可得出a_n，n=1时单独考虑，再利用等比数列的通项公式即可得出；
（II）由（I）得，利用“错位相减法”即可得出其前n项和．
解答：解：（I）当n=1时，，得．
当n≥2时，，
，
两式相减得a_n=pa_n-1，即．
故{a_n}是首项为，公比为p的等比数列，
∴．
由题意可得：2a₁=6a₃+a₂，，
化为6p²+p-2=0．
解得p=或（舍去）．
∴=．
（II）由（I）得，
则，
+（2n-1）×2ⁿ+（2n+1）×2ⁿ⁺¹，
两式相减得-T_n=3×2+2×（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n+1）×2ⁿ⁺¹
=
=-2-（2n-1）×2ⁿ⁺¹，
∴．
点评：熟练掌握：当n≥2时，利用a_n=S_n-S_n-1，a₁=S₁；等比数列的通项公式，“错位相减法”是解题的关键．