Question

（2013•镇江一模）已知△ABC的面积为S，且

AB

•

AC

=S．
（1）求tan2A的值；
（2）若B=

π

4

，|

CB

-

CA

|=3，求△ABC的面积S．

Answer 1

分析：（1）由已知和三角形的面积公式可得cosA=

1

2

sinA，进而可得tanA=2，由二倍角的正切公式可得答案；
（2）由（1）中的tanA=2，可得sinA，cosA，由两角和的正弦公式可得sinC，结合正弦定理可得边b，代入面积公式可得答案．

解答：解：（1）设△ABC的角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．
∵

AB

•

AC

=S，∴bccosA=

1

2

bcsinA，…（2分）
∴cosA=

1

2

sinA，∴tanA=2．…（4分）
∴tan2A=

2tanA

1-tan2A

=-

4

3

．…（5分）
（2）|

CB

-

CA

|=3，即|

AB

|=c=3，…（6分）
∵tanA=2，∴0＜A＜

π

2

…（7分）
∴sinA=

2 5

5

，cosA=

5

5

．…（9分）
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=

2 5

5

•

2

2

+

5

5

•

2

2

=

3 10

10

．…（11分）
由正弦定理知：

c

sinC

=

b

sinB

，可推得b=

c

sinC

•sinB=

5

…（13分）
∴S=

1

2

bcsinA=

1

2

5

•3•

2 5

5

=3．…（14分）

点评：本题考查和差三角函数、倍角公式、正弦定理的应用、平面向量的运算；考查运算变形和求解能力．