题目内容

直线L经过双曲 $数学公式$ （a＞0，b＞0）右焦点F与其一条渐近线垂直且垂足为A，与另一条渐近线交于B点， $数学公式$ = $数学公式$ $数学公式$ ，则双曲线的离心率为

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
2

B
分析：设一渐近线OA的方程为 y= $\text{[math]}$ x，设A（m， $\text{[math]}$ ），B（n，- $\text{[math]}$ ），由 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，求得点A的坐标，再由FA⊥OA，斜率之积等于-1，求出a²=3b²，代入e= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 进行运算．
解答：由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OA的方程为 y= $\text{[math]}$ x，则另一渐近线OB的方程为 y=- $\text{[math]}$ x，
设A（m， $\text{[math]}$ ），B（n，- $\text{[math]}$ ），∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，∴（c-m，- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ （n-c，- $\text{[math]}$ ），
∴c-m= $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，∴m= $\text{[math]}$ ，n= $\text{[math]}$ ，
∴A（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．由FA⊥OA可得，斜率之积等于-1，即 $\text{[math]}$ =-1，
∴a²=3b²，∴e= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
故选B．
点评：本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求得点A的坐标是解题的关键．