Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c在与x=1时都取得极值．若对x∈[-1，2]，不等式f（x）＜2c恒成立，则c的取值范围是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   c＞2
4. D.
   c≥2

Answer 1

C
分析：求出f′（x），因为函数在 与x=1时都取得极值，所以得到f′（-）=0，且f′（1）=0联立解得a与b的值，然后把a、b的值代入求得f（x）及f′（x），根据函数的单调性，由于x∈[-1，2]恒成立，只需求出最大值，然后令最大值＜2c，即可求出c的范围．
解答：解；（1）f（x）=x³+ax²+bx+c，f'（x）=3x²+2ax+b
由，解得，．
代回原函数得，f（x）=，f'（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），函数f（x）的单调区间如下表：
x（-1，-） -（-，1）1（1，2]f′（x）+0-0+f（x）↑极大值↓极小值↑所以函数f（x）的递增区间是（-1，-）和（1，2]，递减区间是（-，1）．
当x=-时，f（x）=+c为极大值，而f（2）=2+c，f（-1）=，所以f（2）=2+c为最大值．
要使f（x）＜2c，对x∈[-1，2]恒成立，须且只需2+c＜2c．
解得c＞2．
故选C．
点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力，利用导数研究函数单调性的能力，以及理解函数恒成立时所取到的条件，属中档题．