Question

已知a＞0，函数f（x）=ln（2-x）+ax．
（1）设曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线为l，若l与圆（x+1）²+y²=1相切，求a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）求函数f（x）在[0，1]上的最小值．

Answer 1

（1）依题意有x＜2，f′(x)=a+

1

x-2

（1分）
过点（1，f（1））的直线斜率为a-1，所以过（1，a）点的直线方程为y-a=（a-1）（x-1）（2分）
又已知圆的圆心为（-1，0），半径为1
∴

|1-a+1|

(a-1)2+1

=1，解得a=1（3分）
（2）f′(x)=

ax-2a+1

x-2

=a[x-(2-

1

a

)]•

1

x-2

当a＞0时，2-

1

a

＜2（5分）
令f′（x）＞0，解得x＜2-

1

a

，令f′（x）＜0，解得2-

1

a

＜x＜2
所以f（x）的增区间为(-∞，2-

1

a

)，减区间是(2-

1

a

，2)（7分）
（3）当2-

1

a

≤0，即0＜a≤

1

2

时，f（x）在[0，1]上是减函数所以f（x）的最小值为f（1）=a（9分）
当0＜2-

1

a

＜1即

1

2

＜a＜1时f（x）在(0，2-

1

a

)上是增函数，在(2-

1

a

，1)是减函数所以需要比较f（0）=ln2和
f（1）=a两个值的大小（11分）
因为e

1

2

＜3

1

2

＜2＜e，所以

1

2

＜ln

3

＜ln2＜lne=1
∴当

1

2

＜a＜ln2时最小值为a，当ln2≤a＜1时，最小值为ln2（12分）
当2-

1

a

≥1，即a≥1时，f（x）在[0，1]上是增函数
所以最小值为ln2．
综上，当0＜a＜ln2时，f（x）为最小值为a
当a≥ln2时，f（x）的最小值为ln2（14分）