Question

14．如图△ABC是等腰三角形，BA=BC，DC⊥平面ABC，AE∥DC，若AC=2且BE⊥AD，则（　　）

• A． AB+BC有最大值
• B． AB+BC有最小值
• C． AE+DC有最大值
• D． AE+DC有最小值

Answer 1

分析 取AC的中点O，连接OB，OE，则OB⊥AC，证明AD⊥平面BOE，确定$\frac{1}{AE}$=$\frac{CD}{2}$，利用基本不等式，即可得出结论．

解答 解：取AC的中点O，连接OB，OE，则OB⊥AC，
∵DC⊥平面ABC，∴DC⊥OB，
∵DC∩AC=C，
∴OB⊥平面ADC，
∴OB⊥AD，
∵BE⊥AD，OB∩BE=B，
∴AD⊥平面BOE，
∴AD⊥OE，
∴∠AEO=∠CAD，
∴$\frac{1}{AE}$=$\frac{CD}{2}$，
∴AE=$\frac{2}{CD}$，
∴AE+CD=CD+$\frac{2}{CD}$≥2$\sqrt{2}$，当且仅当CD=$\sqrt{2}$时，AE+DC有最小值，
故选D．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查基本不等式的运用，确定AE，CD的关系是关键．