Question

已知函数f（x）=ax²-1的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线8x-y+2=0平行，若数列{

1

f(n)

}的前n项和为S_n，则S₂₀₁₁的值为

2011

4023

．

Answer 1

分析：先利用函数的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线8x-y+2=0平行，求出a，代入即可求出数列的通项公式，再利用裂项法求和，即可得到结论．

解答：解：∵f′（x）=2ax，∴f′（1）=2a
∵函数f（x）=ax²-1的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线8x-y+2=0平行，
∴2a=8，即a=4．
∴f（x）=4x²-1，
∴

1

f(n)

=

1

4n2-1

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）
∴S₂₀₁₁=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

4021

-

1

4023

）]=

1

2

（1-

1

4023

）=

2011

4023

故答案为：

2011

4023

点评：本题考查导数的几何意义，考查数列的求和，确定数列的通项是关键．