Question

已知（c>0），（n, n）（n∈R）, 的最小值为1，若动点P同时满足下列三个条件：①，②（其中）；③动点P的轨迹C经过点B（0,－1）。

（1）求c值；  （2）求曲线C的方程；（3）方向向量为的直线l与曲线C交于不同两点M、N，若，求k的取值范围。

Answer 1

(1) ,(2) 曲线C的方程为：,

(3) 的取值范围是。

解析:

（1）法一，∵

                 

当时，                           

法二，由可知点G在直线y=x上

∴|FG|的最小值为点F到直线y=x的距离，即       （）

（2）由知 又

又（）∴∴点P在以F为焦点，为准线的椭圆上

设P(x,y)，则∵动点P的轨迹C经过点B(0,-1)且

∴从而b=1  ∴曲线C的方程为：

（3）设直线的方程为

由     

∵与曲线C交于不同两点，∴，即①

设的中点由则有BR⊥MN

∵K_MN=K_L=K∴（11分）由韦达定理有

∴∴MN的中点R₀坐标为（12分）又B（0，-1）

∴    ②

由①②联立可得

即∴为R上的减函数

（3分）志求闭区间为[-1，1]

（2）（5分）（或∵）∴在R不可能恒为正式恒为负）

      

        

∴在R上不是单调函数，故不是闭函数

（3）在（0，）上是增函数

设[]（0，∞），  

即方程有两个不相等的正根（12分）

于是

故的取值范围是