Question

已知函数f（x）=log_ax在x∈[3，+∞）上，恒有|f（x）|＞1，则实数a的取值范围是

1

3

＜a＜3且a≠1

．

Answer 1

分析：当a＞1时，不等式即 logax＞1=logaa，故a＜x对任意x∈[3，+∞）恒成立，得到1＜a＜3，当0＜a＜1时，不等式即-logax=loga1x＞1=logaa，故a＜x对任意x∈[3，+∞）恒成立，故 13＜a＜1，将两种情况下求得的a的取值范围再取并集．

解答：解：当a＞1时，∵x∈[3，+∞），∴y=f（x）=log_ax＞0，
由|f（x）|＞1，得log_ax＞1=log_aa，∴a＜x对任意x∈[3，+∞）恒成立．
于是：1＜a＜3．
当0＜a＜1时，
∵x∈[3，+∞），
∴y=f（x）=log_ax＜0，
由|f（x）|＞1，得-log_ax=log_a

1

x

＞1=log_aa，
∴a＞

1

x

对任意x∈[3，+∞）恒成立．
于是：

1

3

＜a＜1． 
综上：a∈（

1

3

，1）∪（1，3）．
故答案为：

1

3

＜a＜3且a≠1．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，对数函数的单调性及特殊点，体现了分类讨论的数学思想．