Question

已知Ω={（x，y）||x|≤1，|y|≤1}，A是曲线y=x²与y=x 

1

2

围成的区域，若在区域Ω上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为

1

12

．

Answer 1

分析：求得两曲线的交点分别为O（0，0）、A（1，1），可得区域A的面积等于函数y=x

1

2

-x²在[0，1]上的定积分值，利用积分计算公式算出区域A的面积S=

1

3

．区域Ω表示的是一个边长为2的正方形，因此求出此正方形的面积并利用几何概型公式加以计算，即可得到所求概率．

解答：解：联解y=x²与y=x 

1

2

，得

x=0 y=0

或

x=1 y=1

∴两曲线的交点分别为O（0，0）、A（1，1）．
因此，两条曲线围成的区域A的面积为
S=∫₀¹（x

1

2

-x²）dx=（

2

3

x

3

2

-

1

3

x3）

|

1 0

=

2

3

-

1

3

=

1

3

．
而Ω={（x，y）||x≤1，|y|≤1}，表示的区域是一个边长为2的正方形，
∴在Ω上随机投一点P，则点P落入区域A中的概率P=

S阴影

S正方形

=

1 3

2×2

=

1

12

，
故答案为：

1

12

点评：本题给出区域A和Ω，求在Ω上随机投一点P，使点P落入区域A中的概率．着重考查了定积分计算公式、定积分的几何意义和几何概型计算公式等知识，属于中档题．