Question

已知椭圆的离心率为，F为椭圆的右焦点，M、N两点在椭圆C上，且，定点A（-4，0）．
（1）求证：当λ=1时，；
（2）若当，求椭圆C的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），F（c，0）通过λ=1时，，M、N两点在椭圆上，求出，然后通过数量积证明．
（2）当λ=1时，不妨设M（c，），N（c，），通过，求出a，b，得到椭圆的方程．
解答：解：（1）证明：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），F（c，0）
则，，
当λ=1时，∴-y₁=y₂，x₁+x₂=2c，
由M、N两点在椭圆上，
∴，，
∴若
，则，（舍去），
所以，
∴，，
，
∴．
（2）当λ=1时，不妨设M（c，），N（c，），
，
因为a²=，，
∴，
∴c=2，a²=6，b²=2，
故椭圆的方程为．
点评：本题考查椭圆的简单性质，向量在几何中的应用，椭圆的标准方程，考查函数与方程的思想，计算能力．