题目内容

已知抛物线C1：x2=8y和圆C2：x2+（y-2）2=4，直线l过C1焦点，且与C1，C2交于四点，从左到右依次为A，B，C，D，则
AB
•
CD
=
4
4
．
分析：首先注意到
AB
，
CD
共线，因此则
AB
•
CD
=
|AB
|•|
CD
|=（AF-BF）（FD-CF），若设A、D的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）则根据抛物线定义有AF=y1+2，FD=y2+2，而BF，CF均为半径，这样只需求y1•y2，再设直线l的方程为y=kx+2，联立直线和抛物线的方程求出y1•y2，
解答：解：∵抛物线C1：x2=8y的焦点为F（0，2），圆C2：x2+（y-2）2=4的圆心为（0，2），∴直线l过圆C2的圆心．
设直线l的方程为y=kx+2，A（x1，y1），D（x2，y2），联立
y=kx+2
x2=8y
，得y2-（4+8k2）y+4=0，
∴y1•y2=4
又根据抛物线定义得|AF|=y1+
p
2
，FD=y2+
p
2
，∴AF=y1+2，FD=y2+2
则
AB
•
CD
=
|AB
|•|
CD
|=（AF-BF）（FD-CF）
=（y1+2-2）（y2+2-2）=y1•y2=4．
故答案为4
点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．关键抛物线的定义及巧妙将向量数量积转化．
练习册系列答案
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精英家教网已知抛物线C1：x2=y，圆C2：x2+（y-4）2=1的圆心为点M
（Ⅰ）求点M到抛物线C1的准线的距离；
（Ⅱ）已知点P是抛物线C1上一点（异于原点），过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A，B两点，若过M，P两点的直线l垂直于AB，求直线l的方程．
已知抛物线C1：x2+by=b2经过椭圆C2：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的两个焦点．设Q（3，b），又M，N为C1与C2不在y轴上的两个交点，若△QMN的重心（中线的交点）在抛物线C1上，
（1）求C1和C2的方程．
（2）有哪几条直线与C1和C2都相切？（求出公切线方程）
已知抛物线C1：x2=4y和圆C2：x2+(y-1)2=1，直线l过C1焦点，从左到右依次交C1，C2于A，B，C，D四点，则
AB
•
CD
=
1
1
．
（2012•台州一模）已知抛物线C1：x2=2py（p＞0）上纵坐标为p的点到其焦点的距离为3．
（Ⅰ）求抛物线C1的方程；
（Ⅱ）过点P（0，-2）的直线交抛物线C1于A，B两点，设抛物线C1在点A，B处的切线交于点M，
（ⅰ）求点M的轨迹C2的方程；
（ⅱ）若点Q为（ⅰ）中曲线C2上的动点，当直线AQ，BQ，PQ的斜率kAQ，kBQ，kPQ均存在时，试判断
kPQ
kAQ
+
kPQ
kBQ
是否为常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由．
已知抛物线C1：x2=2y的焦点为F，以F为圆心的圆C2交C1于A，B，交C1的准线于C，D，若四边形ABCD是矩形，则圆C2的方程为（　　）
A、x2+(y-
1
2
)2=3
B、x2+(y-
1
2
)2=4
C、x2+（y-1）2=12
D、x2+（y-1）2=16

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