Question

袋中装有大小相同的黑球、白球和红球共10个，已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．
（1）求袋中各色球的个数；
（2）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望E（ξ）和方差D（ξ）；
（3）若η=aξ+b，Eη=11，Dη=21，试求出a，b的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意可得：黑球个数为=4，设白球的个数为y，所以可得：进而求出答案．
（2）由题设知ξ的所有取值是0，1，2，3，分别求出其发生的概率即可得到ξ的分布列，进而得到期望与方差．
（3）根据题意可得：Eη=E（aξ+b）=aEξ+B，Dη=D（aξ+b）=a²Dξ，结合题意列方程组得：，即可求出a与b数值．
解答：解：（1）因为从袋中任意摸出1球得到黑球的概率是，
设黑球个数为x，则：解得：x=4…（1分）
设白球的个数为y，又从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是，
则：解得：y=5…（3分）
所以 袋中白球5个，黑球4个，红球1个      …（4分）
（2）由题设知ξ的所有取值是0，1，2，3，则：…（6分）
分布列表为：

ξ		1	2	3
P

…（7分）
所以Eξ==，
所以Dξ=×=．
（3）∵η=aξ+b
∴Eη=E（aξ+b）=aEξ+B，Dη=D（aξ+b）=a²Dξ  …（10分）
又 Eη=11，Dη=21
所以               …（12分）
解得：或
即：所求a，b的值为或…（14分）
点评：本题主要考查排列组合、概率等基础知识，同时考查对立事件的概率与古典概型等问题，以及离散型随机变量的期望与方差的公式，是一个综合题．