Question

（2010•重庆三模）已知数列{a_n}满足：a_n＞0，且对一切n∈N^*，有a₁³+a₂³+…+a_n³=S_n²，其中S_n为数列{a_n}的前n项和．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明：

1

lna2

+

1

lna3

+…

1

lnan

＞

3n2-n-2

2n(n+1)

（n≥2，n∈N^*）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由数列{an}满足：a_n＞0，且对一切n∈N^*，有a₁³+a₂³+…+a_n³=S_n²，知a₁³+a₂³+…+a_n³+a_n+1³=S_n+1²，所以a_n+1³=S_n+1²-S_n²=a_n+1（S_n+1+S_n），a_n+1²-a_n+1=2S_n，由a_n+1²+a_n+1=2S_n+1，知a_n²+a_n=2S_n．所以2a_n+1=（a_n+1²-q_n²）+（a_n+1-a_n），由此能求出a_n=n．
（Ⅱ）由a_n=n，知

1

lnan

=

1

lnn

，由当n≥2，n∈N^*时，0＜lnn＜n-1，知

1

lnn

＞

1

n-1

＞0，由当n≥2，n∈N时，1＞

2

n+1

＞0，知

1

lnn

＞

2

(n-1)(n+1)

=

1

n-1

-

1

n+1

，由上此能够证明

1

lna2

+

1

lna3

+…+ 

1

lnan

＞

3n2-n-2

2n(n+1)

．

解答：（Ⅰ）解：∵数列{an}满足：a_n＞0，且对一切n∈N^*，有a₁³+a₂³+…+a_n³=S_n²，…①
所以a₁³+a₂³+…+a_n³+a_n+1³=S_n+1²，…②
①-②得a_n+1³=S_n+1²-S_n²=a_n+1（S_n+1+S_n），
则a_n+1²=S_n+1+S_n=a_n+1+2S_n，
所以a_n+1²-a_n+1=2S_n，
又a_n+1²-a_n+1=2S_n=2S_n+1-2a_n+1，
所以a_n+1²+a_n+1=2S_n+1…③
则a_n²+a_n=2S_n…④
③-④得2a_n+1=（a_n+1²-a_n²）+（a_n+1-a_n），
从而a_n+1-a_n=1．
又由已知易得a₁=1，所以数列{a_n}是以首项为a₁=1，公差为1的等差数列
所以a_n=n．
（Ⅱ）证明：∵a_n=n，∴

1

lnan

=

1

lnn

，
令f（x）=lnx-x+1，x＞1
∵f'（x）=

1

x

-1=

1-x

x

＜0，
∴f（x）单调递减，
那么f（x）＜f（1）=0，即lnx＜x-1
∴当n≥2，n∈N^*时，0＜lnn＜n-1，
∴

1

lnn

＞

1

n-1

＞0，
∵当n≥2，n∈N时，1＞

2

n+1

＞0，
∴两式相乘有

1

lnn

＞

2

(n-1)(n+1)

=

1

n-1

-

1

n+1

，…（9分）
∴

1

lna2

+

1

lna3

+…+ 

1

lnan

=

1

ln2

+

1

ln3

+… +

1

lnn

＞(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)+(

1

n-1

-

1

n+1

)，
=1+

1

2

-

1

n

-

1

n+1

=

3

2

-

1

n

-

1

n+1

=

3n2-n-2

2n(n+1)

（n≥2，n∈N^*）．…（12分）

点评：本题考查数列与不等式的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．