Question

（2010•重庆三模）已知函数f（x）=x³-3x，过点A（1，m）（m≠-2）可作曲线y=f（x）的三条切线，则m的取值范围（　　）

A．（-3，-2）

B．（-2，3）

C．（-2，-1）

D．（-1，1）

Answer 1

分析：先将过点A（1，m）（m≠-2）可作曲线y=f（x）的三条切线转化为：方程2x³-3x²+m+3=0（*）有三个不同实数根，记g（x）=2x³-3x²+m+3，g'（x）=6x²-6x=6x（x-1），下面利用导数研究函数g（x）的零点，从而求得m的范围．

解答：解：由题意得：f′（x）=3x²-3，设切点为（x₀，y₀），
则切线的斜率k=3x₀²-3=

y0-m

x0-1

=

x3-3x0-m

x0-1

，
即2x₀³-3x₀²+m+3，由条件知该方程有三个实根，
∴方程2x³-3x²+m+3=0（*）有三个不同实数根，
记g（x）=2x³-3x²+m+3，g'（x）=6x²-6x=6x（x-1）
令g'（x）=0，x=0或1，
则x，g'（x），g（x）的变化情况如下表

x	（-∞，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
g'（x）	+	0	-	0	+
g（x）	递增	极大	递减	极小	递增

当x=0，g（x）有极大值m+3；x=1，g（x）有极小值m+2，
由题意有，当且仅当

g(0)＞0 g(1)＜0

，即

m+3＞0 m+2＜0

，-3＜m＜-2时，
函数g（x）有三个不同零点，
此时过点A可作曲线y=f（x）的三条不同切线．故m的范围是（-3，-2）．
故选A．

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．