Question

17．已知函数$f（x）={cos^2}（x+\frac{π}{12}）$，g（x）=1+$\frac{1}{2}$sin2x，h（x）=f（x）+g（x）．
（1）设x=x₀是函数y=f（x）图象的一条对称轴，求g（2x₀）的值；
（2）求函数h（x）的单调增区间；
（3）p（x）=h（x）-t在x∈$[0，\frac{π}{2}]$上有1个零点，求t的取值范围？

Answer 1

分析 （1）化简函数f（x），根据x=x₀是f（x）图象的对称轴，求出2x₀，再求g（2x₀）的值；
（2）化简函数h（x），利用三角函数的图象与性质求出h（x）的单调增区间；
（3）根据题意把问题转化为函数h（x）与y=t图象的交点问题，结合函数图象求出t的取值范围．

解答 解：（1）由题设知，函数$f（x）={cos^2}（x+\frac{π}{12}）$=$\frac{1}{2}$[1+cos（2x+$\frac{π}{6}$）]，
∵x=x₀是函数y=f（x）图象的一条对称轴，
∴cos（2x₀+$\frac{π}{6}$）=±1；…（2分）
∴2x₀+$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z；
解得2x₀=kπ-$\frac{π}{6}$，k∈Z；
∴g（2x₀）=1+$\frac{1}{2}$sin（2kπ-$\frac{π}{3}$）=1-$\frac{\sqrt{3}}{4}$；…（4分）
（2）函数h（x）=f（x）+g（x）
=$\frac{1}{2}$[1+cos（2x+$\frac{π}{6}$）]+1+$\frac{1}{2}$sin2x
=$\frac{1}{2}$[cos（2x+$\frac{π}{6}$）+sin2x]+$\frac{3}{2}$
=$\frac{1}{2}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$sin2x）+$\frac{3}{2}$
=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{3}{2}$，
当2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，
即kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，k∈Z时，
函数h（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{3}{2}$是增函数，
∴函数h（x）的单调递增区间是[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈Z；
（3）函数p（x）=h（x）-t在$x∈[0，\frac{π}{2}]$上有两个零点，
等价于函数h（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{3}{2}$与y=t在$x∈[0，\frac{π}{2}]$上有两个交点；
令μ=$2x+\frac{π}{3}$，则μ$∈[\frac{π}{3}，\frac{4π}{3}]$，
则函数y=$\frac{1}{2}sin$μ+$\frac{3}{2}$与y=t在$[\frac{π}{3}，\frac{4π}{3}]$上有两个交点；
当μ=$\frac{π}{3}$时，y=$\frac{1}{2}sin$$\frac{π}{3}$+$\frac{3}{2}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}+\frac{3}{2}$，
当μ=$\frac{π}{2}$时，y=$\frac{1}{2}sin$$\frac{π}{2}$+$\frac{3}{2}$=2，
当μ=$\frac{4π}{3}$时，y=$\frac{1}{2}sin$$\frac{4π}{3}$+$\frac{3}{2}$=$-\frac{{\sqrt{3}}}{4}+\frac{3}{2}$，
所以t的取值范围是$-\frac{{\sqrt{3}}}{4}+\frac{3}{2}≤t＜\frac{{\sqrt{3}}}{4}+\frac{3}{2}$或t=2．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了函数的零点问题，考查了数形结合思想与转化思想的应用问题，是综合性题目．