Question

已知两个不共线的向量

OA

，

OB

的夹角为θ（θ为定值），且|

OA

|=3，|

OB

|=2．
（1）若θ=

π

3

，求

OA

•

AB

的值；
（2）若点M在直线OB上，且|

OA

+

OM

|的最小值为

3

2

，试求θ的值．

Answer 1

分析：本题有两种解答思路：
解法一：（1）根据两个不共线的向量

OA

，

OB

的夹角θ=

π

3

，及|

OA

|=3，|

OB

|=2，结合

AB

=

OB

-

OA

，我们代入直接求出

OA

•

AB

；（2）由点M在直线OB上，我们设

OM

=λ

OB

，结合|

OA

+

OM

|2=

OA

2+2

OA

•

OM

+

OM

2，分类讨论λ＞0（即

OM

与

OB

同向）、λ＜0（即

OM

与

OB

反向）即可求出对应λ的值．
解法二：以O为坐标原点，OB方向为X轴正方向，建立平面直角坐标系，构造出各个点及各个向量的坐标，利用坐标法进行解答．

解答：解法一：（1）

OA

•

AB

=

OA

•(

OB

-

OA

)=-

OA

2+

OA

•

OB

=-|

OA

|2+|

OA

||

OB

|cosθ=-9+3×2×

1

2

=-6（6分）
（2）设

OM

=λ

OB

，
则显然λ≠0
|

OA

+

OM

|2=

OA

2+2

OA

•

OM

+

OM

2
①当λ＞0时
|

OA

+

OM

|2=|

OA

|2+2|

OA

|•|

OM

|cosθ+|

OM

|2
=9+12cosθ•λ+4λ²（*）（8分）
要使得（*）有最小值，
其对称轴λ=-

3

2

cosθ＞0，
即cosθ＜0
故|

OA

+

OM

|2min=

144-144cos2θ

16

=

9

4

，
解得cosθ=-

3

2

（10分）
又0°≤θ≤180°
∴θ=150°（12分）
②当λ＜0时
|

OA

+

OM

|2=|

OA

|2-2|

OA

|•|

OM

|cosθ+|

OM

|2
=9+12cosθ•λ+4λ²（#）
要使得（#）有最小值，
其对称轴λ=-

3

2

cosθ＜0，
即cosθ＞0
故|

OA

+

OM

|2min=

144-144cos2θ

16

=

9

4

，
解得cosθ=

3

2

又0°≤θ≤180°
∴θ=30°（15分）
综上所述，θ=30°或150°（16分）
法二：以O为坐标原点，OB方向为X轴正方向，建立平面直角坐标系，
则A（3cosθ，3sinθ），B（2，0）
（1）当θ=

π

3

时，

OA

=(

3

2

，

3 3

2

)，

AB

=(

1

2

，-

3 3

2

)（3分）
∴

OA

•

AB

=

3

4

-

27

4

=-6（6分）
（2）设

OM

=(2λ，0)，
则

OA

+

OM

=(3cosθ+2λ，3sinθ)（8分）
|

OA

+

OM

|2=(3cosθ+2λ)2+9sin2θ=4λ2+12cosθ•λ+9（10分）
当λ=-

3

2

cosθ时，
|

OA

+

OM

|2min=

144-144cos2θ

16

=

9

4

解得cosθ=±

3

2

（14分）
又0°≤θ≤180°
∴θ=30°或150°（16分）

点评：本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，向量的模及二次函数的最值问题，在处理与向量模有关的问题时，如果能使用坐标法，我们可根据

a

=(x，y)，则|

a

|=

x2+y2

来处理，若没有坐标，则一般要使用平方法处理．