题目内容

已知两个不共线的向量
a
，
b
，它们的夹角为θ，且|
a
|=3，|
b
|=1，x为正实数．
（1）若
a
+2
b
与
a
-4
b
垂直，求tanθ；
（2）若θ=
π
6
，求|x
a
-
b
|的最小值及对应的x的值，并判断此时向量
a
与x
a
-
b
是否垂直？
分析：（1）利用数量积运算、同角三角函数的基本关系式即可得出；
（2）利用数量积的性质和二次函数的单调性即可得出．
解答：解：（1）∵
a
+2
b
与
a
-4
b
垂直，∴(
a
+2
b
)•(
a
-4
b
)=0，
∴
a
2-2
a
•
b
-8
b
2=0，
∴32-2×3×1×cosθ-8×12=0，∴cosθ=
1
6
．
又θ∈（0，π），
∴sinθ=
1-cos2θ
=
35
6
，
∴tanθ=
sinθ
cosθ
=
35
．
（2）|x
a
-
b
|=
(x
a
-
b
)2
=
x2
a
2-2x
a
•
b
+
b
2
=
9(x-
3
6
)2+
1
4
，
故当x=
3
6
时，|x
a
-
b
|取得最小值为
1
2
，
此时
a
•(x
a
-
b
)=x
a
2-
a
•
b
=
3
6
×9-3×1×cos
π
6
=0，
故向量
a
与x
a
-
b
垂直．
点评：熟练掌握数量积运算、同角三角函数的基本关系式、数量积的性质和二次函数的单调性是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
已知两个不共线的向量a，b满足a+2xb=xa+yb，那么实数x，y的值分别是（　　）
A、0，0B、1，2C、0，1D、2，1
已知两个不共线的向量
a
，
b
满足
a
=(1，
3
)，
b
=(cosθ，sinθ)(θ∈R)，
（1）若2
a
-
b
与
a
-7
b
垂直，求向量
a
与
b
的夹角；
（2）当θ∈[0，
π
2
]时，若存在两个不同的θ使得|
a
+
3
b
|=|m
a
|成立，求正数m的取值范围．
已知两个不共线的向量
a
，
b
，它们的夹角为θ，且|
a
|=3，|
b
|=1，若
a
+
b
与
a
-4
b
垂直，则sin(θ+
π
6
)=
 
．
已知两个不共线的向量
a
，
b
的夹角为θ，且|
a
|=3，|
b
|=1，x为正实数．
（1）若
a
+2
b
与
a
-4
b
垂直，求tanθ；
（2）若θ=
π
6
，求|x
a
-
b
|的最小值及对应的x的值，并指出此时向量
a
与x
a
-
b
的位置关系；
（3）若θ为锐角，对于正实数m，关于x的方程|x
a
-
b
|=|m
a
|有两个不同的正实数解，且x≠m，求m的取值范围．

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