Question

已知函数f(x)=4sinxsin2(

π

4

+

x

2

)+cos2x-1．
（1）设ω＞0为常数，若y=f(ωx)在区间[-

π

2

，

2π

3

]上是增函数，求ω的取值范围；
（2）设集合A={x|

π

6

≤x≤

2π

3

}，B={x|[

1

2

f(x)]2-mf(x)+m2+m-1＞0}，若A?B恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的降幂公式将f(x)=4sinxsin2(

π

4

+

x

2

)+cos2x-1化为f（x）=2sinx，从而f（ωx）=2sinωx，利用f（ωx）在[-

π

2

，

2π

3

]是增函数，可得到[-

π

2

，

2π

3

]⊆[-

π

2ω

，

π

2ω

]
，从而可求ω的取值范围；
（2）由于f（x）=2sinx，将[

1

2

f(x)]2-mf(x)+m2+m-1＞0化为sin²x-2msinx+m²+m-1＞0，令sinx=t，则t²-2mt+m²+m-1＞0，t∈[

1

2

，1]，记f（t）=t²-2mt+m²+m-1，
问题转化为上式在t∈[

1

2

，1]上恒成立问题，根据区间[

1

2

，1]在对称轴t=m的左侧，右侧，对称轴穿过区间[

1

2

，1]三种情况结合二次函数的单调性即可解决．

解答：（本小题满分14分）
解：（1）f(x)=4sinx•

1-cos( π 2 +x)

2

+cos2x-1=2sinx（1+sinx）-2sin²x=2sinx．
∵f(ωx)=2sinωx在[-

π

2

，

2π

3

]是增函数，
∴[-

π

2

，

2π

3

]⊆[-

π

2ω

，

π

2ω

]⇒

2π

3

≤

π

2ω

，∴ω∈(0，

3

4

]

（2）[

1

2

f(x)]2-mf(x)+m2+m-1
=sin²x-2msinx+m²+m-1＞0
因为x∈[

π

6

，

2π

3

]，设sinx=t，则t∈[

1

2

，1]
上式化为t²-2mt+m²+m-1＞0
由题意，上式在t∈[

1

2

，1]上恒成立．
记f（t）=t²-2mt+m²+m-1，
这是一条开口向上抛物线，
则

m＜ 1 2 f( 1 2 )＞0

或

1 2 ≤m≤1 △＜0

或

m＞1 f(1)＞0

解得：m＜-

3

2

或m＞1．

点评：本题考查二倍角的余弦，二次函数的性质，难点在于转化与构造函数，利用f（t）=t²-2mt+m²+m-1＞0恒成立，t∈[

1

2

，1]来解决，属于难题．