Question

（2013•湖北）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A-3cos（B+C）=1．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面积S=5

3

，b=5，求sinBsinC的值．

Answer 1

分析：（I）利用倍角公式和诱导公式即可得出；
（II）由三角形的面积公式S=

1

2

bcsinA即可得到bc=20．又b=5，解得c=4．由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA=25+16-20=21，即可得出a．又由正弦定理得即可得到sinBsinC=

bsinA

a

•

csinA

a

即可得出．

解答：解：（Ⅰ）由cos2A-3cos（B+C）=1，得2cos²A+3cosA-2=0，
即（2cosA-1）（cosA+2）=0，解得cosA=

1

2

或cosA=-2（舍去）．
因为0＜A＜π，所以A=

π

3

．
（Ⅱ）由S=

1

2

bcsinA=

3

4

bc=5

3

，得到bc=20．又b=5，解得c=4．
由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA=25+16-20=21，故a=

21

．
又由正弦定理得sinBsinC=

b

a

sinA•

c

a

sinA=

bc

a2

sin2A=

20

21

×

3

4

=

5

7

．

点评：熟练掌握三角函数的倍角公式和诱导公式、三角形的面积公式、余弦定理得、正弦定理是解题的关键．