Question

已知a≠0且a∈R，函数的最小值为g（a）．
（1）求函数g（a）的表达式；
（2）求函数g（a）的值域；
（3）找出所有使成立的实数a．

Answer 1

【答案】分析：（1）由函数的解析式知，求此函数的最值需要先用换元法转化，将此三角函数转化为一个一元二次函数在某一个区间上的最值问题．然后再用配方法求出函数的最值，由于本题中函数的对称轴不确定，属于二次函数最值中轴动区间定的问题，故本题需要对参数a的取值范围讨论，分类求函数的最小值．
（2）研究函数在每一段上的单调性，求出每一段上的值域，将其并起来既得函数的值域，研究函数单调性一般选择用导数法，此法较定义法简捷．
（3）依据g（a）的解析式在各段上探究成立的a的值，方法是求解方程探究
解答：解：（1）令t=sinx+cosx，则t∈，令m（t）=f（x）．
则g（a）=m（t）_min．则=
由题意知．
1°当，即0＜a＜1时，m（t）在区间上单调递增，
∴．
2°当＜0时，即a≥1时，m（t）min=．
3°当
4°当，即-1＜a＜0时，m（t）min=．
∴
（2）当1＞a＞0时，N'（a）=，令N'（a）=0得a=1．
当a∈（0，1）时，N'（a）＜0，y（a）单调递减，
则，∴g（a）≥2
当a＜0时，由N'（a）=0有a=-1，且在（-∞，-1）上N'（a）＞0在（-1，0）上N'（a）＜0，
∴在a∈（-∞，0）上有g（a）≤g（-1）=-2，
∴g（a）值域为（-∞，-2]∪[2，+∞）
（3）若a＞0，∵=1，而当a∈（0，1）时g（a）＞2，而a∈（1，+∞）时g（a）=2，
∴a＞0时有且仅有a=1时有．
若a＜0，，∴＞-1或-1＜a＜0，＜-1或a=，
∴总有g（a）=．∴a＜0时有g（a）=．
综上有：a∈（-∞，0）∪{1}时有g（a）=．
点评：本题考点是三角函数的最值，考查利用三角函数的恒等变换转化函数求最值，本题中函数结构复杂，求解时要分类讨论，分类讨论是一种重要的数学思想，其要义是通过分类是不确定变成确定，以达到求解问题的目的．本题中涉及到了用导数研究函数的单调性求值域，以及分类讨论求解方程成立的条件．本题难度较大，应细心严谨的进行探究．