Question

已知a≠0且a∈R，函数f(0)=asinx•cosx+

2

(sinx+cosx)+

a

2

+

1

a

+2的最小值为g（a）．
（1）求函数g（a）的表达式；
（2）求函数g（a）的值域；
（3）找出所有使g(a)=g(

1

a

)成立的实数a．

Answer 1

分析：（1）由函数的解析式知，求此函数的最值需要先用换元法转化，将此三角函数转化为一个一元二次函数在某一个区间上的最值问题．然后再用配方法求出函数的最值，由于本题中函数的对称轴不确定，属于二次函数最值中轴动区间定的问题，故本题需要对参数a的取值范围讨论，分类求函数的最小值．
（2）研究函数在每一段上的单调性，求出每一段上的值域，将其并起来既得函数的值域，研究函数单调性一般选择用导数法，此法较定义法简捷．
（3）依据g（a）的解析式在各段上探究g(a)=g(

1

a

)成立的a的值，方法是求解方程探究

解答：解：（1）令t=sinx+cosx，则t∈[-

2

，

2

]，sinx•cosx=

t2-1

2

，令m（t）=f（x）．
则g（a）=m（t）_min．则m(t)=f(x)=asinxcosx+

2

(sinx+cosx)=

a(t2-1)

2

+

2

t+

a

2

+

1

a

+2=

a

2

t2+

2

t+

1

a

+2
由题意知a≠0，m(t)=

a

2

(t2+

2 2

a

t)+

1

a

+2=

a

2

(t+

2

a

)2+2．
1°当-

2

a

＜-

2

，即0＜a＜1时，m（t）在区间[-

2

，

2

]上单调递增，
∴g(a)=m(-

2

)=a+

1

a

．
2°当-

2

≤-

2

a

＜0时，即a≥1时，m（t）min=m(-

2

a

)=2．
3°当0＜-

2

a

≤

2

，即a≤-1时，m(t)min=m(-

2

)=a+

1

a

4°当-

2

a

＞

2

，即-1＜a＜0时，m（t）min=m(-

2

)=a+

1

a

．
∴g(a)=

2 ，a≥1 a+ 1 a ，a＜1且a≠0

（2）当1＞a＞0时，N'（a）=(a+

1

a

)=1-

1

a2

，令N'（a）=0得a=1．
当a∈（0，1）时，N'（a）＜0，y（a）单调递减，
则a→0时，g(a)=a+

1

a

→+∞，∴g（a）≥2
当a＜0时，由N'（a）=0有a=-1，且在（-∞，-1）上N'（a）＞0在（-1，0）上N'（a）＜0，
∴在a∈（-∞，0）上有g（a）≤g（-1）=-2，
∴g（a）值域为（-∞，-2]∪[2，+∞）
（3）若a＞0，∵a•

1

a

=1，而当a∈（0，1）时g（a）＞2，而a∈（1，+∞）时g（a）=2，
∴a＞0时有且仅有a=1时有g(a)=g(

1

a

)．
若a＜0，a•

1

a

=1，∴a＜-1，0＞

1

a

＞-1或-1＜a＜0，

1

a

＜-1或a=

1

a

=-1，g(a)=a+

1

a

，g(

1

a

)=

1

a

+

1

1 a

=a+

1

a

∴总有g（a）=g(

1

a

)．∴a＜0时有g（a）=g(

1

a

)．
综上有：a∈（-∞，0）∪{1}时有g（a）=g(

1

a

)．

点评：本题考点是三角函数的最值，考查利用三角函数的恒等变换转化函数求最值，本题中函数结构复杂，求解时要分类讨论，分类讨论是一种重要的数学思想，其要义是通过分类是不确定变成确定，以达到求解问题的目的．本题中涉及到了用导数研究函数的单调性求值域，以及分类讨论求解方程成立的条件．本题难度较大，应细心严谨的进行探究．