Question

满足C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ＜200的最大自然数n=________．

Answer 1

6
分析：再解不等式即可令t=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ，则有t=C_n^n-1+2C_n^n-2+3C_n^n-3+…+（n-1）C_n¹+nC_nⁿ，则可得2t=n×2ⁿ+nC_nⁿ，
解答：由题意令t=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ，
则有t=C_n^n-1+2C_n^n-2+3C_n^n-3+…+（n-1）C_n¹+nC_nⁿ，
上述两等式相加得2t=n×2ⁿ，
故n×2^n-1＜400
验证知，最大的n是6
故答案为：6．
点评：本题考查组合及组合数公式，解题的关键是根据题设中的形式，利用倒序相加的方法对不等式的左边进行化简，此处考查到了二项式定理，本题较抽象，知识性强，解题时要注意公式与定理的使用．