Question

【题目】已知椭圆的长轴与短轴之和为6，椭圆上任一点到两焦点， 的距离之和为4.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线： 与椭圆交于， 两点， ， 在椭圆上，且， 两点关于直线对称，问：是否存在实数，使，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2) 的值为

【解析】试题分析：

（1）由题意可得， .则椭圆的标准方程为.

（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立可得，直线与椭圆相交，则，解得，设， 两点的坐标分别为， ， 的中点为，利用中点坐标公式结合韦达定理可得，点在直线上，代入直线方程可得，则.由弦长公式有..由解方程可得，即存在实数使.

试题解析：

（1）由题意， ， ，

∴， .

∴椭圆的标准方程为.

（2）∵， 关于直线对称，

设直线的方程为，

联立，消去，

得，

，解得，

设， 两点的坐标分别为， ，

则， ，

设的中点为，

∴，

∴，

又点也在直线上，

则，∴，

∵，∴.

则 .

同理.

∵，∴，

∴，∴，

∴存在实数使，此时的值为.