Question

已知F（x）=f（x+

1

2

）-1是R上的奇函数，a_n=f（0）+f（

1

n

）+f（

2

n

）+…+f（

n-1

n

）+f（1）（n∈N^*），则数列{a_n} 的通项公式为（　　）

A．a_n=n-1

B．a_n=n

C．a_n=n+1

D．a_n=n²

Answer 1

分析：由F（x）=f（x+

1

2

）-1在R上为奇函数，知f（

1

2

-x）+f（

1

2

+x）=2，令t=

1

2

-x，则

1

2

+x=1-t，得到f（t）+f（1-t）=2．由此能够求出数列{a_n} 的通项公式．

解答：解：F（x）=f（x+

1

2

）-1在R上为奇函数
故F（-x）=-F（x），
代入得：f（

1

2

-x）+f（

1

2

+x）=2，（x∈R）
当x=0时，f（

1

2

）=1．
令t=

1

2

-x，则

1

2

+x=1-t，
上式即为：f（t）+f（1-t）=2．
当n为偶数时：
a_n=f（0）+f（

1

n

）+f（

2

n

）+…+f（

n-1

n

）+f（1）（n∈N^*）
=[f（0）+f（1）]+[f（

1

n

）+f（

n-1

n

）]+…+[f（

1 2 n-1

2

）+f（

1 2 n+1

2

）]+f（

n

2

）
=2×

n

2

+1
=n+1．
当n为奇数时：
a_n=f（0）+f（

1

n

）+f（

2

n

）+…+f（

n-1

n

）+f（1）（n∈N^*）
=[f（0）+f（1）]+[f（

1

n

）+f（

n-1

n

）]+…+[f（

n-1 2

n

）+f（

n+1 2

n

）]
=2×

n+1

2

=n+1．
综上所述，a_n=n+1．
故选C．

点评：本题首先考查函数的基本性质，借助函数性质处理数列问题问题，十分巧妙，对数学思维的要求比较高，要求学生理解f（t）+f（1-t）=2．本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．解题时要认真审题，仔细解答．