Question

14．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤$\frac{π}{2}$），x=-$\frac{π}{4}$为f（x）的零点，x=$\frac{π}{4}$为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（$\frac{π}{18}$，$\frac{5π}{36}$）上单调，则ω的最大值为（　　）

• A． 11
• B． 9
• C． 7
• D． 5

Answer 1

分析 根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x=-$\frac{π}{4}$为f（x）的零点，x=$\frac{π}{4}$为y=f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（$\frac{π}{18}$，$\frac{5π}{36}$）上单调，可得ω的最大值．

解答 解：∵x=-$\frac{π}{4}$为f（x）的零点，x=$\frac{π}{4}$为y=f（x）图象的对称轴，
∴$\frac{2n+1}{4}•T=\frac{π}{2}$，即$\frac{2n+1}{4}•\frac{2π}{ω}=\frac{π}{2}$，（n∈N）
即ω=2n+1，（n∈N）
即ω为正奇数，
∵f（x）在（$\frac{π}{18}$，$\frac{5π}{36}$）上单调，则$\frac{5π}{36}$-$\frac{π}{18}$=$\frac{π}{12}$≤$\frac{T}{2}$，
即T=$\frac{2π}{ω}$≥$\frac{π}{6}$，解得：ω≤12，
当ω=11时，-$\frac{11π}{4}$+φ=kπ，k∈Z，
∵|φ|≤$\frac{π}{2}$，
∴φ=-$\frac{π}{4}$，
此时f（x）在（$\frac{π}{18}$，$\frac{5π}{36}$）不单调，不满足题意；
当ω=9时，-$\frac{9π}{4}$+φ=kπ，k∈Z，
∵|φ|≤$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{4}$，
此时f（x）在（$\frac{π}{18}$，$\frac{5π}{36}$）单调，满足题意；
故ω的最大值为9，
故选：B

点评 本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，本题转化困难，难度较大．